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Nichtstandard-Analysis

Infinitesimalrechnung leichter verstehen

Kurze Buchvorstellung mit Dr. Kirski

Schon das Wort kommt nicht so leicht daher – Infinitesimalrechnung. Und wenn sie dann, die Infinitesimalrechnung im Mathematik-Unterricht mit Hilfe von Grenzwerten eingeführt werden soll, dann stöhnt so mancher Schüler.

Der Mathematik-Lehrer und Seminarleiter Helmut Wunderling (1933 – 2015) gründete Mitte der 90er-Jahre eine Arbeitsgruppe zusammen mit Peter Baumann und Thomas Kirski. Deren Ziel  war es, ein Analysis-Buch für die Schule herauszubringen, das nicht den seit Mitte des 19. Jahrhunderts üblichen, sehr abstrakten  Grenzwertbegriff verwendet, sondern die seit gut 50 Jahren bekannten hyperreellen Zahlen. Denn damit lassen sich die ursprünglichen, sehr anschaulichen Ideen der Erfinder der Analysis heute mathematisch einwandfrei  anwenden. Die langjährigen Bemühungen der Gruppe, begleitet von einer Reihe von Vorträgen und Veröffentlichungen, mündeten schließlich  in dem gerade erschienenen Buch:

Das Buch richtet sich an Mathematiklehrer*innen und an solche, die es werden wollen. Sein methodischer Ansatz: Zunächst werden die hyperreellen Zahlen eingeführt, sodass schon nach kurzer zeit Differential- und Integralrechnung betrieben werden kann.

INTERVIEW


Einer der Autoren, Dr. Thomas Kirski, unterrichtet am HCG Mathematik, Physik und Informatik und leitet den Fachbereich Naturwissenschaften.

Herr Dr. Kirski, wenn Mathematiker untereinander über die Infinitesimalrechnung sprechen, benutzen sie dann ein Kürzel oder geben sie sich der ganzen Länge des Wortes hin?

Der heute übliche Oberbegriff lautet Analysis, bestehend auf den Teilen Differenzial- und Integralrechnung. Im englischsprachigen Bereich wird auch der Begriff Calculus verwendet.

Die Infinitesimalrechnung wurde Ende des 17. Jahrhunderts entwickelt. Wo liegt denn da das Neue Ihres Buches?

Es geht dabei um den Begriff des Unenendlichen, konkret um unendlich kleine (infinitesimale) und unendlich große (infinite) Zahlen (die es in der Menge der reellen Zahlen nicht gibt). Die Gründer der Analysis, also vor allem Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton, haben anschauliche Vorstellungen dazu verwendet, konnten die Begriffe aber nicht logisch einwandfrei definieren, was im 19. Jahrhundert zur Einführung des Grenzwertbegriffs führte, der nicht mehr anschaulich, sondern sehr abstrakt ist. Mit der Einführung der hyperreellen Zahlen in den 1960er Jahren durch Abraham Robinson lassen sich nun die ursprünglichen Gedanken der Erfinder mathematisch präzise verwenden, so dass der schwierige Grenzwertbegriff – insbesondere für die Schule – nicht mehr erforderlich ist.

Vertreten Sie die Gedanken Ihres Buches auch anderweitig?

Seit Beginn der Arbeitsgruppe werben wir durch Artikel in Didaktik-Fachzeitschriften, durch Vorträge und Fortbildungsveranstaltungen für Mathematik-Lehrkräfte für diese Ideen. Wir betreiben außerdem seit 2013 eine Website zu diesem Thema, die umfangreiche Informationen dazu bereit stellt (–> nichtstandard.de).

Gibt es erste Reaktionen?

Inzwischen gibt es etliche Lehrkräfte, die in ihrem  Analysis-Unterricht mit hyperreellen Zahlen arbeiten.

In welcher Klassenstufe wird Infinitesimalrechnung eigentlich behandelt?

In Berlin im ersten Semester (Differenzialrechnung) und zweiten Semester (Integralrechnung) der Qualifikationsphase (also Kl. 11).

Was könnte ein Schüler mit dem Buch anfangen?

Es handelt sich nicht um ein Schulbuch, sondern es geht hauptsächlich um die Begründungen und Herleitungen der Regeln, die dann bei der Bearbeitung der mathematischen Aufgabenstellungen angewendet werden. Insofern könnten Schüler, die sich für eine vertiefte Begründung der grundlegenden Ideen interessieren, davon profitieren.

Was wünschen Sie dem Buch?

Dass sich möglichst viele Mathematik-Lehrkräfte mit den hyperreellen Zahlen  befassen, sie in ihrem Analysis-Unterricht verwenden und erkennen, wie damit vieles anschaulicher und  einfacher begründet werden kann.

 

Und was sagt WIKIPEDIA?


Die Infinitesimalrechnung  
ist eine von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelte Technik, um Differential- und Integralrechnung zu betreiben. Sie liefert eine Methode, eine Funktion auf beliebig kleinen (d. h. infinitesimalen) Abschnitten widerspruchsfrei zu beschreiben. Frühe Versuche, unendlich kleine Intervalle quantitativ zu fassen, waren an Widersprüchen und Teilungsparadoxa gescheitert.

Für die heutige Analysis, die mit Grenzwerten und nicht mit Infinitesimalzahlen arbeitet, wird der Begriff üblicherweise nicht verwendet – allerdings existiert seit den 1960er Jahren mit der so genannten Nichtstandardanalysis eine widerspruchsfreie Infinitesimalrechnung.   –> mehr

 

Ein Blick ins Buch

Vorwort, Inhaltsverzeichnis, Einleitung und einiges zu hyperreellen Zahlen

–> hier

Kostet?

Preis: Druck-Buch: 28 €;  Kindle-Ausgabe 20 €

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Text, Interview, Foto: Heun